Топологические группы и векторные пространства

Расписание:

Внимание! Изменилась аудитория! 

 

Понедельник 16:45, ауд 12-06 (главное здание). Первая лекция 21 сентября.


Осенний семестр, 2026/2027
Аудитория:
студенты 2-6 курсов и аспиранты
По выбору кафедры
Аннотация:

Топологической группой называется группа с топологией, относительно которой обе групповые операции (умножение и взятие обратного) непрерывны (такая топология называется групповой). Уже само существование такой топологии оказывает неожиданно большое влияние на алгебраические свойства групп и наоборот — существование непрерывных операций очень сильно влияет на топологические свойства. Уже проблема существования недискретной хаусдорфовой групповой топологии на произвольной бесконечной группе оказывается весьма нетривиальной. Известно, что если топологическая группа является многообразием, то она является группой Ли, т.е. допускает структуру гладкого и даже аналитического многообразия. С топологическими группами тесно связаны топологические векторные пространства, которые сами являются топологическими группами и потому обладают всеми их свойствами, но при этом имеют ещё и специфические свойства, связанные с непрерывной линейной структурой.


Программа

Лекция 1

Определение топологической группы, её однородность. Аксиомы отделимости в топологических группах. Топологизируемые и нетопологизируемые группы.   

Лекция 2

Критерий того, что данное семейство подмножеств группы является базой окрестностей единицы в некоторой групповой топологии на этой группе. Замыкание множества A в топологической группе как пересечение произведений AU (или UA) для всех окрестностей единицы U. Открытость произведения открытого множества и любого другого. Утвеждение: произведение замыканий двух множеств содержится в замыкании их произведения. Теорема: пересечение всех окрестностей единицы топологической группы является замкнутой нормальной подгруппой. Связность произведения связных множеств. Теорема: компонента связности единицы является замкнутой нормальной подгруппой. Полунормы на группах. Теорема: для всякой последовательности симметричных подмножеств Un  группы G, содержащих единицу и таких, что Un+1Un+1 содержится в Un  для всякого n, существует полунорма на G такая, что для всякого n шар с центром в 1 радиуса 1/2n относительно этой полунормы содержит Un+1 и содержится в Un.

Лекция 3

Обобщения топологических групп. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в полугруппе с компактной хаусдорфовой топологией, относительно которой полугрупповая операция непрерывна по одному из аргументов. Теорема Эллиса о том, что группа с локально компактной хаусдорфовой топологией, относительно которой умножение раздельно непрерывно, является топологической группой.

Лекция 4

Факторные отображения топологических пространств. Топологические факторгруппы топологических групп. Открытость факторных гомоморфизмов. Теорема: всякий вполне несвязный хаусдорфов компакт нульмерен, т.е. его топология обладает базой, состоящей из открыто-замкнутых множеств.  Теорема ван Данцига: любая локально компактная вполне несвязная топологическая группа отделима и нульмерна; более того, базу окрестностей единицы в такой группе можно составить из подгрупп. Замкнутость локально компактной топологической группы в любой объемлющей топологической группе, содержащей её в качестве подгруппы.  

Лекция 5

Теорема: факторгруппа любой топологической группы по компоненте связности единицы отделима и вполне несвязна. Топологические группы без малых подгрупп. Метризуемость локально компактной группы без малых подгрупп. Теоремы: 1) Все хаусдорфовы вещественные топологические векторные пространства одной и той же конечной размерности топологически изоморфны. 2) Любое конечномерное подпространство хаусдорфова вещественного топологического векторного пространства замкнуто. 3) Всякое хаусдорфово локально выпуклое вещественное топологическое векторное пространство конечномерно.

Группы Ли. Самая общая идея доказательства  того, что любая хаусдорфова локально компактная группа без малых подгрупп является группой Ли.

  

________________________________________

 

Предварительный план:

  1. Топологическая группа, основные свойства. Топологизируемость групп. Примеры нетопологизируемых групп Ольшанского и Шелаха.
  2. Полунормы на группах. Метризуемость топологических групп с первой аксиомой счётности.
  3. Связные и нульмерные топологические группы. Теорема ван Данцига.
  4. Тихоновское произведение топологических групп. Прямая сумма произвольного семейства топологических групп.
  5. Топологические факторгруппы, факторные гомоморфизмы.
  6. Свободные топологические, топологические абелевы и топологические булевы группы, их существование. Граевское продолжение непрерывных псевдометрик на топологическом пространстве X на свободную группу F(X). Топология индуктивного предела на свободной группе.
  7. Свойство Суслина компактно порождённых топологических групп.
  8. Универсальные топологические группы. Группа гомеоморфизмов топологического пространства. Группа изометрий метрического пространства.
  9. Топологические векторные пространства. Свободные топологические векторные пространства.
  10. Топологическая характеризация групп Ли.
  11. Функциональные пространства, топологии на них. Топология поточечной сходимости на функциональном пространстве. Каноническое отображение вычисления X → CpCp(X).
  12. Пространство Lp(X). Доказательство того, что Lp(X) = (Cp(X))′. Теорема Нагаты об изоморфизме топологических колец непрерывных функций.
  13. Отображение сужения и его свойства. Двойственное отображение и его свойства. Связь между кардинальными инвариантами топологического пространства X и пространства Cp(X).
  14. Локально выпуклые пространства. Формулировка теоремы Дугунджи.
  15. Свободные локально выпуклые пространства.
  16. Метризуемые подгруппы и подпространства топологических групп и векторных пространств. Сходящиеся последовательности в топологических группах и векторных пространствах.