ВНИМАНИЕ! ОПЯТЬ изменилась аудитория!
Суббота 16:45, ауд 12-24 (главное здание). Первая лекция 19 сентября
Предполагается обсудить применение теоретико-множественных конструкций в общей топологии и топологической алгебре, главным образом, теории топологических групп (т.е. групп с топологией, относительно которых умножение и инверсия непрерывны). Основное внимание будет уделено фундаментальным вопросам, которым обычно не уделяется должного внимания в базовом курсе «Введение в топологию», а также теоремам, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть без дополнительных теоретико-множественных предположений (таким как континуум-гипотеза).
Лекция 1
Аксиомы теории множеств. Натуральные числа. Ординалы и кардиналы. Мощность множества. Порядковый тип вполне упорядоченного множества. Континуум-гипотеза. Модели теории множеств. Множества Бернштейна, доказательство их существования.
Лекция 2
Проблема существования однородного компакта, не содержащего сходящихся последовательностей. Центрированные семейства множеств, фильтры, ультрафильтры. Главные и неглавные ультрафильтры. Теорема: всякое центрированное семейство множеств содержится в ультрафильтре. Основное свойство ультрафильтров. Отображения фильтров и ультрафильтров, сходимость фильтров на топологическом пространстве. Теорема: топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда всякий ультрафильтр на этом пространстве сходится к некоторой точке.
Лекция 3
Топологическое пространство ультрафильтров, его свойства (компактность, хаудорфовость). Отождествление точек множества с главными ультрафильтрами на этом множестве. Вложение дискретного пространства в пространство ультрафильтров на нём в качестве открытого всюду плотного подпространства. P-точки в топологическом пространстве. Замечание: все точки компакта не могут быть P-точками. Характеризация ультрафильтров на множестве N натуральных чисел, являющихся P-точками в пространстве N* неглавных ультафильтров.
Лекция 4
Теорема Рамсея. Рамсеевские ультрафильтры. Теорема: всякий (неглавный) рамсеевский ультрафильтр на N является P-точкой в N*. Доказательство существования рамсеевских ультрафильтров в предположении справедливости континуум-гипотезы. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в полугруппе с компактной хаусдорфовой топологией, относительно которой полугрупповая операция непрерывна хотя бы по одному аргументу.
Лекция 5
Продолжение полугрупповой операции полугруппы S на пространство βS ультрафильтров на S. Теорема Хиндмана. Проблема топологизируемости групп, примеры нетопологизирумых групп. Алгебраические и безусловно замкнутые множества в группах, кольцах и других алгебраических структурах. Теорема Арнаутова о том, что в бесконечном кольце дополнение до нуля не бывает алгебраическим множеством.
________________________________________
Предварительный план:
- Аксиомы теории множеств. Ординалы и кардиналы, мощность множества. Модели теории множеств. Континуум-гипотеза, её независимость от аксиом теории множеств.
- Примеры некомпактных топологических пространств, в которых любое бесконечное множество имеет предельную точку и все непрерывные функции ограничены, основанные на теоретико-множественных конструкциях (ординалы, несчётные семейства бесконечных подмножеств счётного множества, все пересечения которых конечны).
- Множества Бернштейна, стационарные множества. Свойство Суслина. Проблема Суслина о существовании прямой Суслина — линейно упорядоченного множества без наименьшего и наибольшего элементов, в котором нет ни скачков, ни щелей и которое обладает свойством Суслина, но не сепарабельно (= не изоморфно вещественной прямой). Принцип Йенсена, существование прямой Суслина в предположении его выполнения.
- Произведение произвольного семейства топологических пространств. Лемма о Δ-системе. Независимость мультипликативности свойства Суслина от аксиом теории множеств.
- Топологические группы, их основные свойства. Канторово множество и пространство иррациональных чисел как топологические группы. Топологическая характеризация групп Ли. Свободные топологические группы. Свойство Суслина компактно порождённых топологических групп. Проблема существования недискретной групповой топологии на любой бесконечной группе, контрпримеры Ольшанского и Шелаха.
- Максимальные топологические пространства. Экстремально несвязные топологические пространства. Две теоремы Малыхина: любая экстремально несвязная группа содержит открытую булеву подгруппу и любая топологическая группа с максимальной топологией содержит счётную окрестность единицы.
- Фильтры и ультрафильтры. Сходимость ультрафильтров на топологическом пространстве. Описание замыкания множества в терминах ультрафильтров. Критерии хаусдорфовости, компактности и непрерывности в терминах ультрафильтров. Теорема Тихонова о компактности произведения компактных пространств.
- Равносильность теоремы Тихонова и аксиомы выбора. Топологическое пространство βX ультрафильтров на множестве X, его основные свойства: хаусдорфовость, компактность. Вложение пространства X с дискретной топологией в βX в качестве открытого всюду плотного подпространства. Продолжение любого отображения множества X в хаусдорфов компакт K до непрерывного отображения βX → K. Продолжение полугрупповой операции с полугруппы S на βS. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в полугруппе с компактной топологией, относительно которой операция непрерывна по одному аргументу.
- Теоремы о раскрасках (ван дер Вардена о существовании одноцветных арифметических прогрессий для произвольной раскраски натуральных чисел и теорема Хиндмана) как следствия существования идемпотента в полугруппе ультрафильтров.
- Топологические кольца. Проблема существования недискретной кольцевой топологии на бесконечном кольце. Следствие теоремы Хиндмана: несуществование алгебраически изолированных точек в кольцах.