Суббота 13:15, ауд. П3 (второй корпус)
Лекция 1
Аксиомы теории множеств. Множество натуральных чисел. Порядок на множестве. Частично, линейно и вполне упорядоченные множества. Порядок на множестве натуральных чисел. Ординалы, кардиналы. Упорядоченные пары. Декартово произведение семейства множеств. Мощность множества. Порядковый тип вполне упорядоченного множества. Топология, топологическое пространство. Открытые и замкнутые множества, окрестности точек и множеств. Определение открытого множества в терминах окрестностей точек. Подпространство топологического пространства.
Лекция 2
Базы и предбазы топологии. Условия, при которых данное семейство подмножеств топологического пространства можно принять за базу (предбазу) некоторой топологии. База и предбаза подпространства. Сравнение топологий. Топология, порождённая метрикой, база такой топологии. Эквивалентные метрики. Метризуемое пространство. Подпространство метризуемого пространства. Утверждение: сужение метрики d на подмножество Y метрического пространства (X, d) порождает на Y топологию, индуцированную топологией, порождённой метрикой d на X. Топология, порождённая линейным порядком на множестве. База топологии на плоскости, порождённой лексикографическим порядком. Локальная база топологии в точке (база окрестностей). Вес и характер топологического пространства. Система окрестностей.
Лекция 3
Точки прикосновения, предельные точки, точки накопления и граничные точки множества в топологическом пространстве. Изолированные точки. Замыкание множества в топологическом пространстве. Замыкание множества в подпространстве топологического пространства. Оператор замыкания, топологический оператор замыкания. Внутренность множества. Граница множества. Всюду плотное множество. Плотность топологического пространства, сепарабельное топологическое пространство. Утверждение: замыкание открытого множества совпадает с замыканием пересечения этого множества с всюду плотным множеством. Теорема: сепарабельное метризуемое пространство обладает счётной базой.
Лекция 4
Последовательности, сходящиеся последовательности. Свойство Фреше–Урысона, пространство Фреше–Урысона. Пример счётного пространства Фреше–Урысона без первой аксиомы счётности (счётный веер Фреше–Урысона). Пример недискретного пространства без сходящихся последовательностей. Направленности. Сходимость направленностей в топологическом пространстве. Характеризация точек прикосновения в терминах направленностей. Фильтры, ультрафильтры. Главные и неглавные ультрафильтры. Центрированные семейства множеств. Теорема: всякое центрированное семейство подмножеств бесконечного множества содержится в некотором ультрафильтре. Существование неглавных ультрафильтров.
Лекция 5
Основное свойство ультрафильтров. Сходимость ультрафильтров в топологическом пространстве. Характеризация точек прикосновения в терминах ультрафильтров. Отображения фильтров и ультрафильтров. Непрерывность отображения в точке. Непрерывность отображения. Критерии непрерывности и непрерывности в точке (в терминах открытых и замкнутых множеств, замыканий и ультрафильтров). Непрерывность расстояния до фиксированного множества в метрическом пространстве. Гомеоморфизмы, гомеоморфные пространства. Топологические свойства (топологические инварианты). Примеры топологических свойств. Гомеоморфные вложения. Открытые и замкнутые отображения. Уплотнения (непрерывные биекции).
Лекция 6
Критерий непрерывности в терминах предбаз. Свойства непрерывных отображений (непрерывность композиции, сужения, надотображений, декартовых и диагональных произведений непрерывных отображений). Примеры непрерывных отображений. Непрерывность суммы, произведения и т.п. непрерывных функций. График отображения, его гомеоморфность области определения (для непрерывного отображения). Аксиомы отделимости T0–T4. Хаусдорфовы, регулярные и нормальные пространства. Замкнутость графика непрерывного отображения в хаусдорфово пространство. Критерий хаусдорфовости в терминах диагонали. Критерий хаусдорфовости в терминах фильтров и ультрафильтров. Замкнутость множества точек совпадения непрерывных отображений в хаусдорфово пространства. Совпадение непрерывных отображений в хаусдорфово пространство, совпадающих на всюду плотном множестве. Нормальность метризуемых пространств. Лемма Урысона.
Лекция 7
Теорема Титце–Урысона о продолжении отображений. Аксиома отделимости T3 1/2. Вполне регулярные (тихоновские) пространства. Примеры, различающие аксиомы отделимости T0 и T1, T1 и T2, T2 и T3. Пример тихоновского ненормального пространства.
Отдельных задач к лекции 7 нет, см. задачи к лекции 6
О.В. Сипачева. Начала общей топологии. М.: МЦНМО, 2024.
Р. Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986.
А.В. Архангельский, В.И. Пономарев. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.